Отношение в математике с примерами решения и образцами выполнения

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.

4. Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример: Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B: А = <1, 2, 3, 4, 6, 12>, B = <1, 2, 3, 6, 9, 18>.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C: C = <1, 2, 3, 6>.

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так: А ∩B =C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустоемножество. Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩Y = Ø.

Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D =AUB.

AUB=<1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18>.

5.Декартовым произведением множествA и B называется такое результирующее множество пар вида (x,y), построенных таким образом, что первый элемент из множества A, а второй элемент пары — из множества B. Общепринятое обозначение:

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

Примеры

1.Положим A=<1,2>,B=<3,4>. Тогда результат декартова произведения можно записать так: A×B=<(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)>, а B×A=

2.Если в предыдущем примере положить B=A, очевидно, что A×B=B×A=

6. Разностью множеств A

и
B
называется множество элементов, принадлежащих
A
и не принадлежащих
B
. Обозначают
AB
и читают «разность
A
и
B
«.

Пример 1. Пусть A

есть отрезок [1, 3],
B
– отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением – отрезок [2, 3], разностью
AB
– полуинтервал [1, 2),
BA
– полуинтервал (3, 4].

Пример 2. Пусть A

есть множество прямоугольников,
B
– множество всех ромбов на плоскости. Тогда есть множество всех квадратов,
AB
– множество прямоугольников с неравными сторонами,
BA
– множество всех ромбов с неравными углами.

7. Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ;

§ Операция пересечения множеств коммутативна:

§ Операция пересечения множеств транзитивна:

§ Универсальное множество является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

§ Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;

§ Операция пересечения множеств идемпотентна:

§ Если — пустое множество, то

8.Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане

§ Операция объединения множеств коммутативна:

§ Операция объединения множеств транзитивна:

§ Пустое множество является нейтральным элементом операции объединения множеств:

§ Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;

§ Операция пересечения множеств идемпотентна:

Виды отношений

1.Бинарное отношение (двучленное отношение). Бина́рное отноше́ние в математике — двухместное отношение между любыми двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: [1] . Бинарное отношение на множестве — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

2. Тернарное отношение — то же, что трёхместное отношение (трёхчленное отношение).

3.Кватернарное отношение — то же, что четырёхместное отношение (четырёхчленное отношение)

10. Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение на множестве , при котором всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Формально, отношение рефлексивно, если .

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент х

имеет петлю — дугу (
х
,
х
).

Бинарное отношение на множестве является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение на множестве ( ), то есть .

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества , то отношение называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х

,
х
).

Что такое рефлексия и рефлексивность

«Reflecto» в переводе с латыни – «возвращение назад». Этот же термин на французском звучит как «reflexio»и и означает «обдумывание, размышление».

Изначально понятие рефлексии появилось в философии как инструмент наблюдения за внешним миром и способом познания человеческого бытия. Через анализ явлений, происходящих в природе и обществе, личность познает себя, ищет пути для выживания и самосовершенствования. Сегодня процесс рефлексирования изучается и используется в других отраслях, в социологии и психологии.
Рефлексия — это взгляд человека внутрь себя, анализ своих мыслей и действий и их переосмысление.
Но процесс этот не бездумный, а основанный на полученных знаниях и опыте, рассмотренный через собственные ошибки. Кроме того, в социологии это способность оценивать других людей, проводить сравнения между ними и собой.

Рефлексивность – это способность анализировать самого себя, выявлять мотивы собственных поступков с включением:

• прошлых действий и событий;
• успешных или неудачных результатов деятельности;
• эмоционального состояния;
• меняющихся во времени черт личности, характера.

Степень рефлексии у каждого человека разная и зависит от уровня знаний, интеллекта, воспитания. Кто-то непрерывно размышляет над своими поступками и их мотивами, а кто-то не задумывается о них вовсе. Большую роль при этом играет и желание человека осознать свои заблуждения и ошибки, способность к самокритике и потребность в сравнении себя с окружающими людьми.

Отношение эквивалентности

Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности. Для эквивалентных отношений вместо записи обычно пишут (читается: « эквивалентно »). Эквивалентными отношениями являются: «быть конгруэнтными» на множестве плоских треугольников, «быть одного размера» на множестве образцов обуви, «быть родственниками» на множестве людей и т.п.

Введение отношения эквивалентности R на множестве М определяет разбиение всех элементов этого множества на классы эквивалентности Множество всех классов эквивалентности образует фактор множество множества М и обозначается M/R. При этом каждый элемент данного класса является полномочным представителем этого класса. Совокупность по одному и только по одному представителю каждого класса называется системой представителей соответствующего отношения эквивалентности. Примером введения отношения эквивалентности и образования системы представителей может служить формирование представительного органа власти на основе выборов.

Рефлексия в психологии

Признаком зрелой личности является способность принимать ответственность за свои поступки и ту жизнь, которую она имеет. Если человек постоянно винит в происходящем с ним окружающих и обстоятельства, он считается слабым. Поменять свое мировоззрение бывает сложно.

Как раз для таких целей и используется рефлексия в психологии. Как отдельная, самостоятельная тема в психологии, рефлексия выделена А. Буземаном. Этот ученый предположил, что данный процесс не что иное, как перемещение обстоятельств внешнего мира на себя.

В Российской науке проблемы рефлексии исследовали такие ученые как Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, Б.В. Зейгарник. По их мнению, основой понятия является мышление, ведущие к самопониманию, способность найти мотивацию своих действий, ответы на вопросы о личностных характеристиках. Ученые впервые обозначили рефлексию как возможность «узнать истину про самого себя».

Сегодня рефлексия в числе основных направлений в психологии, используемых для расширения сознания клиента. К примеру, если человек находится в состоянии стресса по причине негативных ежедневных мыслей, но не понимает этого, то избавиться от плохого настроения ему не удастся. Прекратить страдание в данном случае можно только поняв глубинную причину упаднического настроя, и, определив шаги по ее устранению.

Осознанным решением можно прекратить поток ненужных мыслеформ и принять себя в состоянии «здесь и сейчас». Специалист призывает взглянуть на себя «со стороны», как — будто, на героя сериала с экрана телевизора. Целью хорошего психолога является обучение самостоятельному самоанализу, получения ответов на мучающие вопросы. В рамках психологии рефлексия и самоанализ-идентичные понятия.

При разборе определенной ситуации или поступка необходимо осознать и проработать следующие моменты:

1. Самоощущение человека в текущий момент времени. Что он испытывает: гнев, страх, стыд, вину, обиду и т.д.
2. Слабое место в самосознании, которому причинен вред в результате произошедших событий. К примеру, завышенные ожидания относительно поведения супруга, других членов семьи, которые привели к появлению обиды.
3. Возможность использования ситуации, а также возникших трудностей с выгодой для себя.

Рефлексия способствует пониманию того, как человек воспринимается со стороны, а не только для самоанализа. Итог рефлективности — самоанализ, формирование желаемых личностных характеристик, понимание связи между поступками и результатами.

Психологическая рефлексия функционирует в следующих направлениях:

• Контроль сознания, включающий в себя осознание собственных мыслей и поступков, действий. Формирование логичности мышления.
• Понимание своих сильных и слабых сторон — самокритика. Умение признать взаимосвязь между происходящими событиями, успехами, неудачами и произведенными действиями.
• Нахождения ключей к решению сложным проблем и задач. Умение планировать свои шаги к достижению целей.
• Избавление от разрушительных, деструктивных установок и мыслеформ.
• Нахождение возможностей для принятия продуманных, верных, полезных решений.
• Аккумуляция и выявление латентных способностей, талантов и ресурсов.

В психологии есть мнение, что рефлексия — это не всегда хорошо. На практике известны случаи, когда самокопание, избыточные размышления приводили к негативным последствиям («горе от ума», «многие знания-многие скорби»). По этой причине важно научиться рефлексировать грамотно, желательно при сопровождении опытного специалиста.

Отношение порядка

Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением порядка. Если на данном множестве введено отношение порядка, то это множество называется упорядоченным. В этом случае вместо пишут Множество совершенно упорядочено, если для любых двух элементов и из множества М

имеет место либо , либо В противном случае говорят, что множество частично упорядочено. Например, отношение «быть выше» на множестве деревьев — совершенно упорядочено, а отношение «быть делителем» на множестве целых чисел — частично упорядочено.

Пусть каждому элементу из множества М по некоторому правилу f поставлено в соответствие вещественное число вес элемента . Введение веса для каждого элемента позволяет упорядочить их по мере возрастания (убывания) весов, а затем сравнивать элементы в соответствии с присвоенным весом. Примерами упорядочения посредством введения весов являются: присвоению каждому товару его цены, каждому станку его надежности, каждому телу его веса, объема и т.п. Взвешивание вариантов решений посредством формирования комплексного показателя качества является одним из самых распространенных способов решения проблемы выбора на множестве разнокачественных признаков.

Если отношение обладает свойствами антирефлексивности, асимметричности и транзитивности, то оно называется отношением строгого порядка (обозначается ). Примером отношения строгого порядка является порядок букв в фиксированном алфавите. Упорядочение букв в алфавите позволяет, в свою очередь, упорядочить слова в словарях (лексикографическое упорядочение слов).

Понятие саморефлексии

Саморефлескию часто отождествляют с рефлексией. Отчасти это верно. Разница между понятиями в том, что приставка «само» свидетельствуют об отражении самого себя, а не только внешнего мира, событий и других людей.

Саморефлексирующие люди постоянно прислушиваются к собственным чувствам и эмоциям, пытаются их анализировать. Подобные упражнения очень полезны для понимания собственного «я», личных желаний и потребностей. Как часто мы ориентируемся на ожидания других людей, ищем оценку своих поступков со стороны. В итоге — остаются не реализованными собственные мечты и внутренние потребности.

Молодые люди поступают на обучение престижным профессиям, а душа тянется к творческим изыскам. В результате профессия не приносит удовлетворения, зато родители довольны! Человек проживает не интересную жизнь, подавляя имеющиеся таланты.

Есть и другая сторона. В гипертрофированных случаях, человек постоянно прислушивается к эмоциям. Он зацикливается на личностных переживаниях и становится невротиком, не видя внешнего мира, который прекрасен. Человек перестает получать удовольствие от жизни, постоянно анализируя собственное состояние.

В таком случае важно вовремя выйти «из себя» наружу, сделать глубокий вдох, ощутить материальные вещи: стол, пол, стену, руки, ноги, звуки и запахи.

Многие люди настороженно относятся к сигналам собственного тела. Часто избыточная рефлексия приводит к невротическим заболеваниями, например, ипохондрии (патологическое состояние, в котором мы находим у себя все возможные и не возможные заболевания).

Зафиксированы случаи, когда женщины находят у себя все признаки беременности, а разубедить в этом их способны только результаты повторных лабораторных обследований (например, УЗИ). Конечно, если есть подозрения на заболевание, необходимо пройти медицинский осмотр. Но когда человек понимает, что его опасения надуманны, следует уходить от сосредоточения на личных ощущениях, игнорировать их.

Формы и виды рефлексии

Мы описали рефлексию как сложный процесс, направленный и внутрь себя, и во внешний мир, приводящий к выгоде для личности, или, напротив к ее разрушению. Рассмотрим какие формы и виды самоанализа существуют в психологии.

С точки зрения влияния на дальнейшее состояние человека:

• Правильный конструктивный самоанализ, позволяющий разобраться в себе, сделать логичные выводы и не наступать повторно на знакомые грабли.
• Вредный деструктивный самоанализ, приводящий к невротическим расстройствам и глубокому зацикливанию на проблемах, зачастую мнимых. В таких ситуациях культивируется чувство вины, беспомощности и безысходности. Человек нуждается в помощи специалиста.

С учетом временных периодов рефлексия бывает:

• Событийная или ситуационная. Индивид проводит анализ проблемы, имеющей место в настоящем времени, «здесь и сейчас».
• Ретроспекционная, обращенная в прошлое. Человек оценивает уже минувшие события и свои действия, делает выводы об их правильности и своевременности.
• Перспективная, обращенная к будущим событиям. Индивидом планируются дальнейшие действия и события, исходя из самоанализа.

Исходя из объекта исследования процесс можно разделить на такие формы как:

• Саморефлексия, обращение к собственному внутреннему миру, личным переживаниям и эмоциям.
• Коммуникативная. При этой форме размышления посвящены другим людям, взаимодействию с друзьями, родственниками, коллегами. Человек пытается проанализировать отношения и взаимодействия.
• Саногенная – разновидность самоанализа, при котором осуществляется предметное изучение сильных эмоций, поиск средств для минимизации или исключения излишних страданий и переживаний.
• Интеллектуальная. Внимание личности сосредоточено на применении знаний, навыков, возможностях их использования в материальном мире.

Сочетание форм рефлексии в заданных условиях дает наилучшие результаты, всегда необходимо комбинировать способы анализа под конкретную ситуацию.

Что значит рефлексировать

Рефлексировать — это думать, логически размышлять, анализировать действия и поступки, познавать самого себя.

Стоит ли понимать свою личность? Конечно, да. Если человек не разобрался в себе, он ведом другими и проживает чужую жизнь. Низкая самооценка, комплексы, чувство вины сидят глубоко внутри и мешают дальнейшему развитию. Их нужно найти и обезвредить.

Рефлексируя, мы учимся:

• Рационально думать.
• Останавливать мыслительный «мусор».

Низкий уровень самоанализа — это путь к свершению одинаковых ошибок и промахов на протяжении всей жизни. На бытовом уровне, зачастую понятие рефлексирующего человека связано с такими определениями как: «нервничать», «переживать», «излишне волноваться». Поэтому в любом действии важна мера и разумность.

Необходимо трезво и спокойно подходить к своему внутреннему миру, не позволяя эмоциям захлестнуть доводы разума. Умеющий рефлексировать человек – психоаналитик сам себе, не каждый на это способен.

Чтобы «самокопаться» с пользой для дела необходимо избежать следующих ошибок:

1. Следует обдумать мотивы поступков, а не сами поступки. К примеру, супруг изменивший жене, может осознать свое предательство и поклясться больше так не делать. Но если мужчина не поймет, что толкнуло его на измену, никакая сила от повтора ошибки его не удержит, поскольку мотивы потребности в походе «налево» останутся не проработанными.
2. «Пилить опилки», как говорил Д. Карнеги. Это значит постоянно перемалывать в голове прошлые грехи и неудачи, придумывая возможно иные последствия того, что уже свершилось. Что было, того уже нет, думайте о текущем моменте, стройте планы на будущее.
3. Культивировать чувство вины. Да, ошиблись, да получили за это свой урок. Нет смысла ругать себя за то, что исправить уже нельзя. Все не без греха.
4. Отвечать за весь мир. Процессы в мире происходят и помимо нашей воли. Не следует брать на себя ответственность за то, на что мы не в силах повлиять.

Если следовать изложенным правилам, то рефлексировать не только можно, но и полезно.

Свойства отношений

Рефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М называется рефлексивным, если для любого имеет место Формально рефлексивность можно задать так: Рефлексивное отношение всегда выполняется между объектом и им самим. Наиболее яркими примерами рефлексивных отношений являются самообслуживание и равенство.

Антирефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М, антирефлексивно, если В антирефлексивных отношениях из условия следует, что Примеры антирефлексивных отношений: быть старше, быть меньше и др.

Симметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется симметричным, если при выполнении соотношения одновременно выполняется и соотношение Формально соотношение симметрично, если Например, отношения «стоять рядом на полке» на множестве книг или « быть родственниками» на множестве людей симметричны.

Асимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется асимметричным, если В асимметричных отношениях из двух соотношений и может выполняться не более одного (одно или не одного). Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (если — отец , то не может быть отцом ).

Антисимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, обладает свойством антисимметричности, если Это означает, что если для одновременно выполняются соотношения Антисимметричны все отношения нестрогого порядка: «быть не больше», «быть не выше» и т.п.

Транзитивность. Отношение R, заданное на множестве М, транзитивно, если для любых из выполнимости со-

отношений следует Формально это можно записать так: Про отношение, не обладающее таким свойством говорят, что оно нетранзитивно. Например, отношение «стоять рядом на полке» нетранзитивно. Действительно, пусть тома некоторой энциклопедии стоят в порядке возрастания номеров томов. Тогда, если первый том стоит рядом со вторым, а второй — рядом с третьим, то, очевидно, что первый не стоит рядом с третьим.

Все общие свойства отношений можно разбить на три группы: рефлексивности (каждое отношение рефлексивно или ан-тирефлексивно), симметричности (отношение всегда или симметрично, или асимметрично, или антисимметрично), транзитивности (каждое отношение транзитивно или не транзитив-но). Отношениям, обладающим определенным набором свойств, присвоены специальные названия.

Как развить рефлексию

Лучший способ приобрести какой-либо навык – это начать его практиковать. Для развития рефлексии нужно начать ей заниматься.

Как это делать?

• Пытайтесь понять какие чувства вы испытываете в текущий момент. Привычка внимательно относится к возникающим радости, гневу, тоске и связывать их с происходящими событиями или коммуникациями с определенными людьми.
• Отслеживайте истории, в которых реагируете слишком резко, болезненно. Если определенные события задевают особенно сильно, нужно понять, что является спусковым крючком.
• Если заметили, что в процессе обдумывания чего-либо испытали тоску, тягостные эмоции, то лучше самокопание прекратить и вернуться к истокам проблемы чуть позже. Высокочувствительным людям без помощи специалиста не обойтись.
• Откажитесь от тотального контроля действительности. Рефлексия не повод раскладывать материальный мир по полочкам. Дайте возможность жизни течь и вне вашего участия.
• Вечером можно «прокрутить» в голове прожитый день, все его плюсы и минусы, сформировать планы на завтра.
• Для развития рефлексии возьмите за правило размышлять систематически над любым интересным Вам явлением или объектом.

После получения навыков рефлексии, можно задать себе несколько вопросов и дать на них честные ответы:

• Подумайте, есть ли что-то в прошлом, к чему бы стоило вернуться и пытаться начать заново. Это может быть семья, работа, увлечения, друзья и т.д. Иногда возврат к прошлому означает начало нового этапа.
• Четко установите для себя, что приносит удовольствие и делает счастливым. Это и будет стратегической целью, которой следует посвятить дальнейшую жизнь.
• Если та точка, в который Вы находитесь сейчас не устраивает, определите действия, которые нужно предпринять для выхода из нее. Не скатывайтесь к самобичеванию или списанию всех проблем на внешние обстоятельства.
• Правдиво ответьте себе на вопрос, что Вы делаете неправильно. Не следует заламывать руки с вопросом: «за что мне это?». Примите ответственность за неудачи на свой счет. Где была ошибка, недоработка? Правда может неприятной, не без нее сложно что-то поправить.
• Если в вопросе Вы потерпели неудачу, проанализируйте, все ли возможное было предпринято или можно попробовать что-то еще.
• Анализируйте поступки с точки зрения достижения цели. Это не значит, что нельзя быть спонтанным и нужно продумывать каждый шаг. Однако в условиях дефицита времени расстановка приоритетов становится необходимой.

Есть мнение, что цель жизни в самой жизни, получении от нее удовольствия и тех вещей, которые соответствуют нашим внутренним потребностям. Рефлексируйте с умом, добивайтесь желаемого и будьте счастливы!

Логическая рефлексивность

В теории познания и в логике по существу действует одна и та же рефлексивность; это — логическая рефлексивность. Превращение субъекта в объект и перенесение объекта в субъект, или представление, в процессе познания, трансцендентного имманентным (эта проблема, как известно, представляет головоломную проблему новейшей философии) возможно только благодаря логической рефлексии, именно логической рефлексивности категорий логического. Как мы уже знаем, некоторые категории онтологии представляют собой вместе с тем и категории логического (категории бытия, сущности, тождества, противоречия-отрицания и др.). Их логическая рефлексивность в своеобразной форме вводит реальное в логическое. Этим обеспечивается объективность логического, логическое (необъективное логическое, как мы знаем, невозможно). Такие категории логического, которые не относятся к онтологии и принадлежат только к логической сфере (напр., понятие категории, понятие понятия, понятие суждения) являются объектами самих себя. Это не означает представления субъективного объективным; нет, это полное осуществление логической объективности, так как в рефлексивности этих категорий осуществляется полная логическая необходимость, необходимость самообоснования посредством отрицания самого себя, т.е. самое объективное, что можно себе представить логически.

В познании действует рефлексивность, поскольку истинны как знание, так и познание познания, как знание знания (этот вопрос, как известно, впервые поставил Сократ, «Теэтет» Платона и другие диалоги исследуют именно эту проблему). Что такое знание? Ответ на этот вопрос не может не содержать рефлективности. Каковы логические условия знания, науки? Ответ на этот вопрос есть основное содержание гносеологии, начала которой заложил Кант. Понимание природы знания есть знание знания. Каковы формы знания? В каких формах существует в конечном счете знание? Ответ на этот вопрос и содержание логических форм знания совпадают друг с другом. Гносеология есть наука о логическихформах знания. Но логика, как наука, также представляет собой науку оформах знания, научное знание о логических формах знания. В этом смысле гносеология и логика одно и то же; как для гносеологии, так и для логики существенна одна и та же логическая рефлексивность.

Метод познания, знания, не может не быть логическим методом. Дажетогда, когда в теории познания стоят на почве психологизма, способность познания используется в роли логического способа. В современном позитивизме применение принципа верификации имеет значение применения логического принципа. Использование ощущений и восприятий в качестве критерия истины придает им не только логическое значение, но и, так сказать, характер своеобразного метафизического принципа. Принцип, отрицающий принцип метафизики, является принципом новой метафизики и выступает в его роли.

Суждение о том, что знание опирается на опыт, само выходит за пределы опыта. Замыкание себя в пределы опыта означает ограничение, определение внеопытным, опору на внеопытное. Установление границы есть и ее преодоление, (как это говорил Гегель в адрес Канта).

Логический метод знания не дан логике заранее; метод логики есть в то же время и ее предмет. Дедуктивная логика изучает дедуктивный метод, осуществленный в формах мысли, в частности в умозаключениях; так же предметом индуктивной логики является индуктивный метод, осуществленный в индуктивных умозаключениях. Редуктивная логика делает своим предметом редуктивный метод и т. д. Это относится и к диалектической логике. Предметом диалектической логики является диалектический метод, осуществленный в логических формах мысли, диалектический метод как метод доказательства (об этом в последующем). Следовательно логический метод, как средство, есть для логики, вместе с тем, и предмет. Поэтому надо сказать, что логика, согласно своей природе, рефлексивна.

Рассмотрение диалектического метода само имеет диалектическую природу, познание этого метода диалектично. Рефлексивность логики существенна и для теории познания. Диалектический метод познания и диалектический метод логики есть один и тот же метод. Он содержит одни и те же законы и формы. Категории, как объективные средства, применяются и в отношении их-же: это одно и то же, существенное как в теории познания, так и в логике. Применение в отношении логической формы той же формы есть логическая рефлексивность. Для логики существенно понятие понятия, суждения о суждении, диалектичность понятия диалектики и т.д. Рассмотрение силлогизма с применением формы силлогизма, применение диалектических умозаключений или суждений при рассмотрении диалектического метода являются в одно и то же время как логической, так и познавательной рефлексией. Поэтому логика, теория познания и диалектика одно и то же.

Логика рефлексивна по своей природе и у Аристотеля, логику которого называют логикой бытия; логику бытия отличают от логики рефлексии (например, Günther)[186]. Такое различение неправильно, поскольку, логика не может не быть рефлексивной. Логика изучает именно логическое; логические формы рассматривались всегда с применением этих форм и т. д. Но выводная форма логической рефлексии была открыта только на высшей ступени развития логики. Эта выводная форма не может быть дана в многозначной логике (как это полагает Günther) поскольку она — математическая наука. Выводную форму логической рефлексии представляет только бесконечное умозаключение, как это было достаточно доказано и показано выше.

Правда, логика всегда была рефлексивной, но учение об этой рефлексивности впервые разработал в своей диалектической логике Гегель (опираясь на Фихте). С точки зрения Гегеля, рефлексивными являются категории сущности; если в категориях бытия осуществляется переход к другому, то в сущности — в отношении к самому себе — имеется некое обращение — круг, где рефлексивность означает своеобразную релятивность: «просвечивание» одной категории во второй и наоборот — основание «видно» в следствии и наоборот, условие в обусловленном и наоборот, причина в действии и наоборот и т. д.

Поэтому признаваемая нами логическая рефлексивность по существу отличается от той рефлексивности, о которой говорит Гегель (мы имеем в виду только логическую сторону рассмотренной у Гегеля рефлексивности, пренебрегая мистической стороной). Признанная нами логическая рефлексивность похожа скорее на то, что у Гегеля называется «субъективностью» понятия. Понятие для Гегеля является самооснованием и саморазвитием; «субъективность» понятия состоит в том, что понятие представляет самообоснование; понятие есть общность, но оно есть и особенность; единство обоих есть единичность. Понятие, как единичное, содержит в самом себе общность и особенность. Эти три момента исчерпывают природу понятия. Понятие есть возвращенное в себя единство.

Признаваемая нами логическая рефлексивность, правда, похожа на «субъективность» понятия Гегеля, но, в действительности, по существу отличается от нее, поскольку; 1) Как это было выяснено выше, «особенное» Гегеля скрывает противоположность-противоречие, тогда как в рефлексивности бесконечного умозаключения полностью осуществляется единство противоположностей. 2) Для Гегеля понятие, как общность, есть. мистическая способность абсолюта обращаться к себе, тогда, как рефлексивность категории логического, осуществленная в бесконечном умозаключении, не содержит ничего нелогического. 3) Гегель не смог дать форму диалектического умозаключения; он ограничился формально-логическими умозаключениями, хотя «рациональное зерно» его диалектики требовало выхода за пределы умозаключений старой логики. 4) Именно поэтому для Гегеля высшим умозаключением осталось разделительное умозаключение, являющееся модусом третьей фигуры (Е-В-О), тогда как для нас высшую форму умозаключения представляет бесконечное умозаключение.

Для нас рефлексивность есть внутреннее самоутверждение (а не действие мистической способности самопознания абсолюта, как это представлено у Гегеля). Рефлексивность не следует сводить к тождеству или равенству, к отношению к самому себе (xRx) без внутреннего различия и отрицания. Без внутреннего различия и отрицания логическая рефлексивность не осуществляется. И при тождестве, как мы знаем, имеется различие; «А есть А» означает: «если есть А, то есть А», здесь: «если есть А» (неутвержденное А) отличается от «есть А» (от утвержденного А). (Что касается рефлексивного отношения математической логики, то оно представляет равенство, точнее: отношение, которое и рефлексивно, и симметрично, и транзитивно, называется равенством или эквивалентностью.[187] Но это — чисто математическое понятие, к которому нельзя сводить логическую рефлексивность).

Следовательно, можно сказать, что в аспекте логической рефлексии диалектика, логика и теория познания одно и то же. Это так именно с логической (а не с психологической или другой) точки зрения.

Логика как органон

Логика, как рефлексивная наука о логической рефлексии, не может не быть «органоном», не только в античном понимании этого слова, но и с точки зрения «высшей логики», в диалектическо-логическом понимании. Логические средства и формы применяются не только в каждой науке, в знании вообще, но они, как было сказано, применяются и в отношении их же. Поэтому и имеют они смысл логической рефлексии. Категории логического представляют собой объективные логические средства — «инструменты» любого знания вообще. Поэтому логика есть «введение» во все науки, вообще в знание, в том числе в саму логику. Логика, как «введение», обща, т.е., содержит и себя.

Здесь для наших целей достаточно рассмотреть только два вопроса: 1) абсолютность науки логики в отношении других наук и 2) тождество правил логического и познания.

Как было сказано, возможна только одна логика; признание более одной логики представляет собой логическую ошибку. Поэтому можно сказать, что логика имеет абсолютный характер, она такова по отношению к другим наукам. Это — нахождение в отношении к другому — не упраздняет ее абсолютного характера; нет, отношение к другому она содержит в себе, поскольку логика сама есть одна из наук и ее абсолютность состоит именно в том, что она есть наука и вместе с тем теория науки.

Логические формы мысли одни и те же для всех наук; они являются формами знания вообще (в том числе и науки логики). Логические средства и формы всякого познания или знания — одни и те же. Такие средства и формы представляют предмет логики и рассмотрение их осуществляется этими же средствами и формами.

Логика применяется в каждой науке; наука невозможна без применения логики, поскольку знание существует в виде логических форм — понятия, суждения, умозаключения, доказательства. Логика тоже применяет науки, поскольку предметом логики являются формы научного знания и знания вообще. Достижения наук, результаты развития науки отражаются в понятиях и категориях, которые изучает логика. Но применение логики науками отличается от применения логикой других наук, поскольку частные науки применяют логику как собственное логическое основание, но сами не являются логическим основанием логики. Материал, примеры, в том числе образцовые, дают логике другие науки; например, как это было отмечено выше, математика (Кантор) смогла положительно определить бесконечность. Поэтому и логика вынуждена и для нее стало возможным установление общелогического положительного понятия бесконечности. При применении логикой других наук используется та же логика и ее средства. Логика едина. Применение и использование другого осуществляется и должно осуществляться на основании самой логики, в противном случае, мы должны допустить необходимость другой логики, существование двух логик.

Частные науки отличаются друг от друга предметами. Вообще, каждая наука определяется ее предметом; наука потому есть определенное знание, что она есть знание предмета. Без предмета наука, конечно, не существует, но, с другой стороны, она не сможет существовать, если логика невозможна. Каждая наука есть наука вследствие логики. Наука есть система, без системы она невозможна; но система — это доказательство, система доказательства. Система науки, как система доказательства, есть логичность, осуществленная в материале науки. Например, система геометрии Эвклида есть система, составленная на основании некоторых положений логики Аристотеля, система, где материал является геометрическим, а сама системность представляет собой логическую связь. Поэтому можно сказать, что «всякая наука есть прикладная логика»[188]. Например, в «Капитале» К. Маркса, как в частной науке, применяются логика, диалектика и теория познания, которые представляют собой одну науку[189]. Диалектика «Капитала» есть частный случай диалектики[190]. Это относится и к другим наукам. Логика логически не опирается ни на что. Она сама доказывается своими же средствами. В этом смысле логика имеет абсолютный характер.

Ввиду сказанного, логика не может опираться на метод частной науки, например на математические методы, как этого требуют некоторые последователи математической логики. Применение математического метода в логике превратило бы эту последнюю в математику. Если математический метод будет содержать все логические средства, то математика превратится в логику — в универсальную науку, т.е. изменится только название, а природа логики останется той же. Если математическая схема заменит логику, то логика, как наука, будет ликвидирована. Такое обстоятельство имеет место по крайней мере (частично), когда логику считают моделью «общей схемы». Логика есть наука, теория. Нельзя представить логику вне теории. Каждая логическая схема имеет какой-то смысл и именно смысл входит в предмет логики. Теория есть понимание, мысль, и когда мы имеем дело с логикой, тогда надо сказать, что логика есть теория о логическом, а логическое есть связь мыслей, представленная в виде мысли (а не схемы).

Логика, как теория о самой себе, не может не быть, вместе с тем, и теорией познания. Если логика диалектична, то диалектика, логика и теория познания не могут не совпадать друг с другом.

Метод и правило познания должны быть методом и правилом получения нового знания. Если логическое есть синтетически-логическое (а это, как было показано, так), тогда и логическое правило является правилом получения нового. Вследствие вышерассмотренной абсолютности логики, ее метод и основное правило должны быть универсальным методом и правилом. Такое правило получения нового и правило познания должны быть одним и тем же. Это должно быть правилом логики, как инструмента — «органона». Логическое объективное средство — инструмент — применяется вообще в науке и в логическом. Эта рефлексивность, как мы знаем, отождествляет познавательное и логическое, и поскольку синтетически-логическое имеет диалектическую природу, постольку это тождество содержит и диалектичность, оно является диалектическим.

Переход в логическом, как переход к новому, есть умозаключение, осуществление логической необходимости. Но этот переход, как получение нового есть вместе с тем «открытие». Поэтому в логике отождествляются друг с другом путь доказательства и путь открытия; правило доказательства и правило открытия должны представлять одно и то же правило. Осуществление дедуктивного метода должно представлять собой получение нового, поскольку дедукция, как переход от общего к частному, есть переход к противоположному. Индукция тоже есть переход к противоположному, поскольку она есть переход от частного к общему. Поэтому правило доказательства и правило открытия должны быть диалектическим правилом, правилом логического развития, в аспекте которого диалектика, логика и теория познания будут одним и тем же (указанное здесь правило будет специально рассмотрено ниже).